| Картографічні проекції | ||||
Земля та і будь-яке інше небесне тіло має надзвичайно складну форму поверхні. На ній і практично не можливо визначати положення об'єктів, відстані між ними або напрямки, якщо ці об'єкти розташовані на значних відстанях. Тому в геодезії та картографії для вирішення практичних завдань Землю описують за допомогою спрощених математичних моделей. Реальна поверхня Землі заміняється на математичну поверхню Землі, будь-яка точка якої має чітке визначення через певний набір рівнянь.
За математичну поверхню Землі приймається поверхня еліпсоїда обертання з полярним стисненням або поверхня кулі, якщо умови задачі дозволяють нехтувати значенням полярного стиснення. Математичну поверхню Землі можна визначити за результатами геодезичних, астрономічних, гравіметричних вимірювань; вона однозначно описується рівнянням еліпсоїда (кулі).
Але навіть за такого спрощення передавати на паперових картах зображення значних за розмірами ділянок земної поверхні не можливо без вирішення ще однієї задачі - перетворення зображення на поверхні еліпсоїда у зображення в картографічній проекції.
Картографічні проекції - це спосіб зображення на площині математичної поверхні Землі. Картографічна проекція задається математичним законом, що встановлює однозначний зв'язок між координатами математичної поверхні Землі і відповідними плоскими координатами цих же точок у зображенні. Цей математичний закон записується у вигляді рівнянь картографічної проекції.
В загальному випадку рівняння картографічних проекцій мають вигляд:  де φ і λ - географічні координати точки на математичній поверхні Землі; х і у - прямокутні координати зображення цієї точки в площині в проекції.
Зрозуміло, що від властивостей і характеру функцій f1 і f2 будуть залежати і властивості проекції. Існує ряд вимог до фукцій картографічних проекцій:
- функції f1 і f2 мають бути однозначними; - частинні похідні функцій мають бути безперервними; - детермінант системи рівннянь має бути більшим з ноль. Оскільки таких функцій можна визначити безліч, то і проекції можуть бути дуже різноманітними.
Зобразити поверхню еліпсоїду або кулі в площину можна за законами проективної геометрії (рис 1). Картографічні проекції, які отримують геометричним шляхом за законами лінійної перспективи, мають назву перспективних проекцій. А площина, на яку відображаються об'єкти за законами проективної геометрії, має назву картинної площини.
Найчастіше в таких проекціях математична поверхня Землі представлена кулею. Залежно від віддалі точки зору до центру кулі перспективні проекції поділяють на гномонічні, стереографічні, ортографічні та зовнішні проекції (рис. 2).
 Рисунок 1. Розгортання зображення поверхні еліпсоїда у площину.
Гномонічна проекція - перспективна проекція кулі на картинну площину з точки зору, яка розташована в центрі кулі. У цій проекції геодезичні лінії на кулі зображуються прямими лініями, які є також геодезичними лініями на площині, а отже й ортодромія (найкоротша лінія між двома точками на поверхні Землі) у цій проекції також зображається прямою.
Стереографічна проекція - перспективна проекція кулі на картинну плошину з точки зору, яка розташована на поверхні кулі, тобто віддаль від цієї точки до центру кулі дорівнює радіусу кулі.
Ортографічна проекція - проекція, у якій точка перспективи або точка зору розташована в нескінченності, тобто коли проектуючі промені можна розглядати як лінії паралельні між собою і перпендикулярні до картинної площини.
Зовнішня проекція - перспективна проекція, в якій точка перспективи або точка зору розташована зовні поверхні кулі, тобто відстань від цієї точки до центра кулі більше від радіуса останньої і має скінченну величину.
Інший спосіб перетворення поверхні еліпсоїду на площину - це перенесення точки з поверхні еліпсоїду на поверхню якоїсь іншої допоміжної фігури, яку можна розгорнути в площину. Такими допоміжними фігурами можуть бути, наприклад, циліндр або конус (рис. 3). Відповідно до того яка фігура використовується, як допоміжна, отримані проекції можна розподілити на конічні, поліконічні, циліндричні, псевдоконічні та псевдоциліндричні.
За положенням картинної площини або вісі допоміжної фігури відносно полярної вісі Землі картографічні проекції поділяються на нормальні, поперечні або скісні.
Нормальна проекція - картографічна проекція, в якій основна вісь допоміжної поверхні (наприклад, циліндра або конуса) збігається з полярною віссю математичної поверхні Землі або коли площина картинна розташована перпендикулярно до цієї осі. Нормальні проекції також іноді називають прямими.
Поперечна проекція - картографічна проекція, в якій основна вісь допоміжної поверхні (наприклад, циліндра або конуса) розташована в площині екватора математичної поверхні Землі, тобто перпендикулярна до її полярної осі, або площина картинна розташована перпендикулярно до площини екватора математичної поверхні Землі.
Скісна проекція - картографічна проекція, в якій в якій основна вісь допоміжної поверхні (наприклад, циліндра або конуса) або картинна площина нахилені до основної полярної осі математичної поверхні Землі.
Як допоміжні поверхні, так і картинна площина можуть перетинати математичну поверхню Землі або дотикатися до неї. В першому випадку проекції називаються січні, а у другому - дотичні (рис. 7).
Лінія, в якій допоміжня поверхня доторкається до поверхні еліпсоїду обертання, називається паралеллю доторкання або головною паралеллю проекції. В нормальних циліндричних проекціях головною паралеллю є земний екватор. В конічних проекціях головна паралель з екватором не співпадає.
Якщо проекція є січною, то існують дві лінії в яких допоміжня поверхня або картинна площина перетинають поверхню еліпсоїду. Ці лінії називають першою та другою головною (або стандартною) паралеллю.
В поперечних та скісних проекціях доторкання або перетинання допоміжньою поверхнею поверхні еліпсоїду відбувається по альмукантаратам - малим колам земної поверхні (рис. 8).
В перспективних проекціях місцем дотикання картинної площини до поверхні еліпсоїду (кулі) є окрема точка.
Еліпсоїд обертання (куля) та площина мають різну кривизну поверхні. Тому при перетворенні зображення певної ділянки з поверхні еліпсоїду в площину завжди виникають спотворення кутів, довжин ліній або площ об'єктів. За характером спотворень проекції поділяють на рівнокутові, рівнопроміжкові, рівноплощові, довільні.
Рівнокутові картографічні проекції - проекції, в яких частинний масштаб у заданій точці вздовж меридіанів і паралелей, як і вздовж головних напрямків, має одне й те ж саме значення, тобто не залежить від напрямку. Це означає, що будь яка нескінченно мала фігура, розташована на математичній поверхні Землі, зображується на площині подібною.
Рівноплощові картографічні проекції - проекції, в яких площа будь-якої фігури на математичній поверхні Землі зображається на площиші без спотворень, тобто площа фігури в зображенні дорівнює площі на поверхні, але фігура цієї площі не є подібною, як це буває у рівнокутовій проекції.
Довільні картографічні проекції - це проекції, яким властиві як кутові, так і площові спотворення. Серед довільних проекцій окремо виділяють рівнопроміжкові проекції.
Рівнопроміжкові картографічні проекції - проекції, в яких один з масштабів уздовж головних напрямків є сталою величиною.
Детальніше див. "Спотворення у картографічних проекціях" >>>
Внаслідок змінювання властивостей двох або більше відомих проекцій можна отримати нові проекції, що називаютьпохідними проекціями.
|
субота, 27 вересня 2014 р.
Картографічні проекції
Підписатися на:
Дописати коментарі (Atom)
Немає коментарів:
Дописати коментар